已知：函数f（x）是R上的单调函数，且f（3）=log23，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f（x）满足对任意实数x，f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0恒成立，求k的范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知：函数f（x）是R上的单调函数，且f（3）=log₂3，对于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（x）满足对任意实数x，f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，求k的范围．

试题解答

见解析

（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即证f （ x ）是奇函数．
（2）因为对任意实数x，f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函数f（k?3^x）＜f（-3^x+9^x+2）恒成立又R上的单调函数f （ x ）满足f（3）=log₂3＞0
而f （0 ）=0 从而有：f （ x ）是R上的单调增函数
于是：k?3^x＜-3^x+9^x+2
∴k＜3^x+

3^x

-1恒成立，而3^x+

3^x

-1≥2

√2

-1
∴k＜2

√2

-1

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必修1 人教A版单选题高中数学

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