已知函数f(x)=a2x+a2-22x-1(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；（2）当a=-1时，求f（x）的反函数；（3）对于问题（1）中的A，当a∈{a|a＜0，a?A}时，不等式x2-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a2^x+a²-2

2^x-1

(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；
（2）当a=-1时，求f（x）的反函数；
（3）对于问题（1）中的A，当a∈{a|a＜0，a?A}时，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．

见解析

解：（1）由必要条件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，
所以a=-1，…（2分）
下面证充分性，当a=-1时，f(x)=

1+2^x

1-2^x

，
任取x≠0，x∈R，f(-x)+f(x)=

1+2^-x

1-2^-x

1+2^x

1-2^x

2^x+1

2^x-1

=0恒成立，…（4分）
由A={-1}．…（5分）
（2）当a=-1时，f(x)=

1+2^x

1-2^x

，其值域是(-∞，-1)∪(1，+∞)…（7分）
得x=log₂

y-1

y+1

，互换x，y得f^-1(x)=log₂

x-1

x+1

，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)…（10分）
（3）原问题转化为g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}
恒成立，则

{	x-4＜0 g(0)≥0

…（12分）
或

{	x-4=0 g(0)＞0

…（14分）
则x的取值范围为[，4]．…（16分）

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