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  • 已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）求证：方程f（x）=1有实根；（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x4-2ax2．
      （I）求证：方程f（x）=1有实根；
      （II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
      （III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（I）要证x4-2ax2=1的实根，
      设t=x      2，也就是证明方程t2-2at=1有非负实数根．
      而△=4a      2+4＞0，故可设t2-2at-1=0的两根为t1，t2．
      t      1t2=-1，∴t1，t2一正一负，
      ∴方程有正根
      ∴方程f（x）=1有实根；
      （II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
      h′（x）=f′（x）-1=4x      3-4ax-1≤0恒成立，
      x=0时显然成立；
      对任意的0＜x≤1，a≥x      2-
      1
      4x
      ，∴a≥（x2-
      1
      4x
      ）max
      而g（x）=x      2-
      1
      4x
      在（0，1]上单调增，
      ∴a≥f（1）=
      3
      4
      ，
      ∴a的取值范围为[
      3
      4
      ，+∞）．
      （III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x      3-4ax|≤1恒成立
      记F（x）=4x      3-4ax
      若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
      若a＞0则F′（x）=12x      2-4a=12（x-
      √
      a
      3
      ）（x+
      √
      a
      3
      ）
      ①当
      √
      a
      3
      ＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，
      √
      a
      3
      ]上递减，在[
      √
      a
      3
      ，1]上递增，
      于是，|F（x）|max=max{-F（
      √
      a
      3
      ），F（1）}=max{
      8a
      3
      √
      a
      3
      ，4-4a}≤1
      解之得：a=
      3
      4

      ②当
      √
      a
      3
      ≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．
      综上所述：a=
      3
      4
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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