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已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1是奇函数．（1）求a值和函数f（x）的反函数f-1（x）；（2）若当x∈（-1，1）时，不等式f-1(x)≥log21+xm恒成立，求m取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

是奇函数．
（1）求a值和函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）若当x∈（-1，1）时，不等式f^-1(x)≥log₂

1+x

m

恒成立，求m取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f(0)=0?

a?1+a-2

1+1

=0，∴a=1…（2分）
记y=f(x)=

2^x-1

2^x+1

．整理得2^x=

1+y

1-y

＞0∴

1+y

1-y

＞0?-1＜y＜1
上式两边取2为底的对数，x=log₂

1+y

1-y

，交换x、y，y=log₂

1+x

1-x

故所求反函数f^-1(x)=log₂

1+x

1-x

(-1＜x＜1)…（8分）
（2）由（1）得log₂

1+x

1-x

≥log₂

1+x

m

对x∈（-1，1）恒成立
∵y=log₂x是（0，+∞）上是增函数，
∴

1+x

1-x

≥

1+x

m

…（11分）
即m≥1-x对x∈（-1，1）恒成立
故m的取值范围是m≥2…（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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