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已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的θ都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知定义在R上的函数f(x)为奇函数,且在[0,+∞)递增,对任意的实数θ∈R,是否存在这样的实数m,使得f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)对所有的θ都成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
解:∵f(x)为奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则f(x)在R上为增函数,且f(0)=0,
所以原不等式可化为f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),∴cos2θ-3>2mcosθ-4m,即∴cos
2
θ-mcosθ+2m-2>0.
令t=cosθ,则原不等式可转化为:
当t∈[-1,1]时,是否存在m∈R,使得g(t)=t
2
-mt+2m-2>0恒成立.
由t
2
-mt+2m-2>0,t∈[-1,1],得m>
2-t
2
2-t
=t-2+
2
t-2
+4,t∈[-1,1]时,
令h(t)=(2-t)+
2
2-t
≥2
√
2
,即当且仅当t=2-
√
2
时,h(t)
min
=2
√
2
,
故m>(t-2+
2
t-2
+4)
max
=4-2
√
2
.
即存在这样的m,且m∈(4-2
√
2
,+∞).
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