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  • 已知函数f(x)=√x+a，g(x)=x+2a√x(a＞0)，（1）当a=1时，求|ag(x)+3f(x)f(x)|的最小值；（2）|ag(x)+3f(x)f(x)|＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      √x
      +a，g(x)=x+2a
      √x
      (a＞0)，
      （1）当a=1时，求|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |的最小值；
      （2）|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |＞5对x∈[1，4]恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：令f(x)=
      √x
      +a=t，则g（x）=t2-a2，|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |=|
      at2+3t-a3
      t
      |．
      （1）当a=1时，t≥1，故t-
      1
      t
      +3=
      (t-1)(t+1)
      t
      +3≥3，因此|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |=|
      t2+3t-1
      t
      |=|t-
      1
      t
      +3|≥3，当且仅当t=1即x=0时取等号．
      所以|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |的最小值是3；
      （2）由x∈[1，4]得t∈[1+a，2+a]，由|
      ag(x)+3f(x)
      f(x)
      |＞5整理可得at2-2t-a3＞0①或at2+8t-a3＜0②．因此①式或②式对于任意的t∈[1+a，2+a]恒成立．显然at2+8t-a3=a（t2-a2）+8t＞0，故②式不成立．
      令φ（t）=at      2-2t-a3，因为△=4+4a4＞0，
      结合该函数的图象可得
      {
      φ(1+a)＞0
      1
      a
      ＜1+a
      或
      {
      φ(2+a)＞0
      1
      a
      ＞2+a
      ?（ I）
      {
      2a2-a-2＞0
      a2+a-1＞0
      或（ II）
      {
      2a2+a-2＞0
      a2+2a-1＜0
      ．
      结合a＞0可知不等式组（ I）的解为a＞
      √17
      +1
      4
      ，不等式组（ II）无解．所以a＞
      √17
      +1
      4
      ．
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