设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．（Ⅰ）若b=2，证明函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，并且x12+x22≥53；（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=2，证明函数f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，并且x₁²+x₂²≥

；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a²恒成立，求a的取值范围．

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见解析

解：（Ⅰ）当b=2时，f（x）=x（x-a）（x-2）=x³-（a+2）x²+2ax．f′（x）=3x²-2（a+2）x+2a．…（1分）
∵△=4（a+2）²-24a=4（a²-2a+4）=4（a-1）²+12＞0，
∴方程f'（x）=0有两个不等的实数根x₁，x₂．…（3分）
不妨设x₁＜x₂，则 f′（x）=3（x-x₁）（x-x₂）．
当x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f'（x）＜0；当x＞x₂时，f'（x）＞0．
∴x₁是f（x）的极大值点，x₂是f（x）的极小值点．…（4分）
并且，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=

(a+2)²-

(a²+a+4)=

(a+

)²+

≥

．
因此，函数f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，并且x₁²+x₂²≥

（当且仅当a=-

时取等号）…（7分）
（Ⅱ）当a=b（a≠0）时，f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+ax．f′(x)=3x²-4ax+a=3(x-

a)(x-a)…（8分）
1若a＞02，则f（x）3在[0，

a]4上增函数，在[

a， a]5上为减函数，在[a，a+1]6上为增函数．f（x）在[0，a+1]上的最大值为f(

a)与f（a+1）中的较大者．
而f(

a)=

a³，f（a+1）=a+1．
由f（x）＜2a²在[0，a+1]上恒成立，得

{

a＞0

a³＜2a²

a+1＜2a.

…（9分）
即1＜a＜

．…（11分）
②若a＜0，则f（x）在[0，1-a]上为增函数．f（x）在[0，1-a]上的最大值为f（1-a）=（1-a）（1-2a）²．
∵a＜0，∴1-a＞1，（1-2a）²＞（-2a）²=4a²＞2a²．
∴f（1-a）＞2a²．
因此，a＜0不可能．…（13分）
综上所述，a的取值范围是(1，

)．…（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

设函数f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．（Ⅰ）若b=2，证明函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，并且x12+x22≥53；（Ⅱ）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时，f（x）＜2a2恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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