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  • 已知f（x）=2x2+ax，且f（1）=3，（1）试求a的值，并证明f（x）在[√22，+∞）上单调递增．（2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2，√13]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=
      2x2+a
      x
      ，且f（1）=3，
      （1）试求a的值，并证明f（x）在[
      √2
      2
      ，+∞）上单调递增．
      （2）设关于x的方程f（x）=x+b的两根为x      1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意的b∈[2，
      √13
      ]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（1）=3，∴a=1，∴f（x）=
      2x2+1
      x
      ，设
      √2
      2
      ≤x1＜x2，
      ∴f（x      2）-f（x1）=2x2+
      1
      x2
      -（2x1+
      1
      x1
      ）=2（x2-x1）+
      x1-x2
      x1x2
      =（x2-x1）（2-
      1
      x1x2
      ），
      ∵x      2＞x1≥
      √2
      2
      ，∴x1x2≥x12≥
      1
      2
      ，∴0＜
      1
      x1x2
      ＜2，
      ∴2-
      1
      x1x2
      ＞0又x2-x1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），
      ∴f（x）在[
      √2
      2
      ，+∞）上单调递增．
      （2）∵f（x）=x+b，∴x      2-bx+1=0，∴|x1-x2|=
      √(x1+x2)2-4x1x2
      =
      √b2-4
      又2≤b≤
      √13
      ，∴0≤|x1-x2|≤3，故只须当t∈[-1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）=tm+m2-2，只须：
      {
      g(-1)≥0
      g(1)≥0
      ，∴
      {
      m2-m-2≥0
      m2+m-2≥0
      ，∴
      {
      m≥2，m≤-1
      m≥1，m≤-2
      ，∴m≥2或m≤-2，故m的取值集合是{m|m≥2或m≤-2}．
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