已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log2x)=-x+ax+1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的奇函数f（x）满足f(log₂x)=

-x+a

x+1

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在定义域R上的单调性；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）函数f（x）的定义域为R，又f（x）满足f（-x）=-f（x），
所以f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
在f(log₂x)=

-x+a

x+1

中令x=1得出f（0）=

a-1

0，所以a=1
令log₂x=t，则x=2^t，y=f（t）=f(x)=

-2^t+1

2^t+1

（t∈R）
所以f(x)=

-2^x+1

2^x+1

（2）减函数
证明：任取 x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，
由（1）f(x₂)-f(x₁)=

1-2^x₂

1+2^x₂

1-2^x₁

1+2^x₁

2(2^x₁-2^x₂)

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

∵x₁＜x₂，
∴0＜2^x₁＜2^x₂，
∴2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0
∴f（ x₂）-f（ x₁）＜0
∴该函数在定义域R上是减函数
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），由（2），f（x）是减函数
∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立∴△=4+12k＜0，得k＜-

即为所求．

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