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  • 已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a?3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)={f1(x) f1(x)≤f2(x) f2(x) f1(x)＞f2(x) （1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求dt；（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a?3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
      {
      f1(x) f1(x)≤f2(x)
      f2(x) f1(x)＞f2(x)

      （1）若f（x）=f      1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
      （2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求
      d
      t
      ；
      （3）设g（x）=x      2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）“f（x）=f1（x）对所有实数都成立”等价于“f1（x）≤f2（x）恒成立”，即3|x-1|≤a?3|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log3a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）max=1，所以log3a≥1，a的取值范围是[3，+∞）． …（4分）
      （2）由（1）可知，当a∈[3，+∞）时，f（x）=f      1（x），f（0）=3，所以t=2，函数的对称轴为x=1，函数f（x）在[0，1]上单调递减；在[1，2]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，
      d
      t
      =
      1
      2
      ． …（6分）
      当f      2（x）≤f1（x）恒成立时，即|x-1|-|x-2|≥log3a恒成立，（|x-1|-|x-2|）min=-1，所以log3a≤-1．
      当a∈(0，
      1
      3
      ]时，f（x）=f2（x）=a?3|x-2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在[0，2]上单调递减；在[2，4]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，
      d
      t
      =
      1
      2
      ． …（8分）
      当a∈(
      1
      3
      ，3)时，解不等式3|x-1|≤a?3|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log3a，其中-1＜log3a＜1，解得x≤
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a，
      所以 f(x)=
      {
      3|x-1 x≤
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a
      a?3|x-2 x＞
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a
      且1＜
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a＜2，f（0）=3，而f（t）=a?3t-2=3，t=3-log3a，
      函数f（x）在[1，
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a]，[2，3-log3a]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=(3-log3a-2)+(
      3
      2
      +
      1
      2
      log3a-1)=
      3
      2
      -
      1
      2
      log3a，
      d
      t
      =
      1
      2
      ． …（11分）
      （3）当a=2时，f(x)=
      {
      3|x-1 x≤
      3
      2
      +
      1
      2
      log32
      2?3|x-2 x＞
      3
      2
      +
      1
      2
      log32

      即要f（x）      min≥g（x）min，…（14分）f（x）min=1．g（x）=（x-b）2+2，当x∈[1，2]时，g(x)min=
      {
      4-2b，b＜1
      3-b2 1≤b≤2
      7-4b，b＞2

      所以b的取值范围是[
      √2
      ，+∞)． …（18分）
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