设二次函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R）（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）在（1）的条件下，若f（x）≤m2-2am+2对所有x∈[-1，√2-1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设二次函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求实数a、b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

√2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴

{	a＞0 △=b²-4a≤0

恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）由（1）可知f（x）=x²+2x+1
∴g（x）=x²+（2-k）x+1
∵g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，
∴[-2，2]?(-∞，

k-2

]或[-2，2]?[

k-2

，+∞)
∴2≤

k-2

或

k-2

≤-2，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）f（x）≤m²-2am+2对所有x∈[-1，

√2

-1]，a∈[-1，1]恒成立，
等价于m²-2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
构造函数g（a）=m²-2am，∴

{	m²-2m≥0 m²+2m≥0

，∴m≥2或m≤-2

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必修1 人教A版单选题高中数学

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