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  • 已知f(x)=√x+1√x+√x+1x+1及g(x)=√x+1√x-√x+1x+1．（1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）?g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并说明理由；（3）若a=√x2+x+1 ， b=t√x ， c=x+1，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      √x
      +
      1
      √x
      +
      √x+
      1
      x
      +1
      及g(x)=
      √x
      +
      1
      √x
      -
      √x+
      1
      x
      +1
      ．
      （1）分别求f（x）、g（x）的定义域，并求f（x）?g（x）的值；（2）求f（x）的最小值并说明理由；
      （3）若a=
      √x2+x+1
      ， b=t
      √x
      ， c=x+1，是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正
      数x，a、b、c都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）、g（x）的定义域均为（0，+∞）；…（2分）
      f(x)?g(x)=(
      √x
      +
      1
      √x
      )2-( x+
      1
      x
      +1 )=1．…（4分）
      （2）∵
      √x
      +
      1
      √x
      ≥2，∴(
      √x
      +
      1
      √x
      )2≥4?x+
      1
      x
      ≥2．…（7分）
      易知函数y=
      √x
      +
      1
      √x
      与y=
      √x+
      1
      x
      +1
      在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，
      ∴f(x)      min=f(1)=2+
      √3
      ．…（10分）
      （3）∵a=
      √x2+x+1
      ＜x+1=c，…（11分）
      ∴若能构成三角形，只需
      {
      √x2+x+1
      +t
      √x
      ＞x+1
      √x2+x+1
      +(x+1)＞t
      √x
      ?
      {
      t＞
      √x
      +
      1
      √x
      -
      √x+
      1
      x
      +1
      t＜
      √x
      +
      1
      √x
      +
      √x+
      1
      x
      +1
      恒成立．…（13分）
      由（1）知，f(x)?g(x)=1?g(x)=
      1
      f(x)
      ，
      ∵f(x)≥2+
      √3
      ，∴g(x)=
      1
      f(x)
      ≤2-
      √3
      ，即t＞2-
      √3
      ．…（15分）
      由（2）知，f(x)≥2+
      √3
      ，∴t＜2+
      √3
      ．…（17分）
      综上，存在t∈( 2-
      √3
      ， 2+
      √3
      )，满足题设条件．…（18分）
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