已知函数f（x）=lg（x+ax-2），其中a为大于零的常数．（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=lg（x+

-2），其中a为大于零的常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，试确定a的取值范围；
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

见解析

解：（1）由 x+

-2＞0得，

x²-2x+a

＞0，
a=1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即 x+

-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而 h(x)=3x-x²=-(x-

)²+

在x∈[2，+∞）上是减函数，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函数 f(x)=log_a(x+

-2)，（a＞0）的值域为R，其真数在实数集上不恒为正，
即 x+

-2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+

≤2，又a＞0
故可求 x+

的最小值，令其小于等于2
∵x+

≥2

√a

∴2

√a

≤2，解得a≤1，
故实数a的取值范围是（0，1]．

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