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  • 设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．（1）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，与函数y=f（x）的图象交于点P（x0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点P处的切线过点（b，0）．（2）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a2恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
      （1）若a≠b，ab≠0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，与函数y=f（x）的图象交于点P（x      0，f（x0）），求证：函数y=f（x）在点P处的切线过点（b，0）．
      （2）若a=b（a≠0），且当x∈[0，|a|+1]时f（x）＜2a      2恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由已知P(
      a
      2
      ，
      a2
      4
      (b-
      a
      2
      ))，…（1分）y'=3x2-（2a+2b）x+ab，…（2分）
      所求切线斜率为3(
      a
      2
      )2-(2a+2b)?
      a
      2
      +ab=-
      a2
      4
      ，…（3分）
      切线方程为y-
      a2
      4
      (b-
      a
      2
      )=-
      a2
      4
      (x-
      a
      2
      )，令y=0，解得x=b，
      所以，函数y=f （x）过点P的切线过点（b，0）…（5分）
      （2）因为a=b，所以y=f（x）=x（x-a）      2，
      y′=3x      2-4ax+a2=3(x-a)(x-
      a
      3
      )，…（6分）
      当a＞0时，函数y=f(x)在(-∞，
      a
      3
      )上单调递增，在（
      a
      3
      ，a）单调递减，在（a，+∞）上单调递增．
      所以，根据题意有
      即
      {
      4
      27
      a3＜2a2
      a+1＜2a2

      解之得1＜a＜
      27
      2
      或a＜-
      1
      2
      ，结合a＞0，所以1＜a＜
      27
      2
      …（9分）
      当a＜0时，函数y=f(x)在(
      a
      3
      ，+∞)单调递增． …（10分）
      所以，根据题意有f（1-a）＜2a      2，…（11分）
      即（1-a）（1-a-a）      2＜2a2，整理得4a3-6a2+5a-1＞0，（*）
      令g（a）=4a      3-6a2+5a-1，∴g′(a)=12a2-12a+5=12(a-
      1
      2
      )2+2＞0
      ∴g（a）在区间（-∞，0）单调递增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式无解．…（13分）
      综上可知：1＜a＜
      27
      2
      ． …（15分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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