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  • 若存在实数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x同时满足：f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b，则称直线：l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x2，g（x）=2elnx（其中e为自然对数的底数）．试问：（1）函数f（x）和g（x）的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；（2）函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若存在实数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x同时满足：f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b，则称直线：l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x2，g（x）=2elnx（其中e为自然对数的底数）．试问：
      （1）函数f（x）和g（x）的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
      （2）函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x2-2elnx（x＞0），
      ∴F′（x）=2x-
      2e
      x
      =
      2(x-
      √e
      )(x+
      √e
      )
      x

      令F′（X）=0，得x=
      √e
      ，
      当0＜x＜
      √e
      时，F′（X）＜0，X＞
      √e
      时，F′（x）＞0
      故当x=
      √e
      时，F（x）取到最小值，最小值是0
      从而函数f（x）和g（x）的图象在x=
      √e
      处有公共点
      （2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=
      √e
      处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-
      √e
      ，即y=kx-k
      √e
      +e
      由f（x）≥kx-k
      √e
      +e（x?R），可得x2-kx-k
      √e
      +e，
      由f（x）≥kx-k
      √e
      +e（x?R），可得x2-kx+k
      √e
      -e≥0当x?R恒成立，
      则△=k      2-4k
      √e
      +4e=（k-2
      √c
      ）2≤0，只有k=2
      √e
      ，此时直线方程为：y=2
      √e
      x-e，
      下面证明g（x）≤2
      √e
      x-eexx＞0恒成立，
      令      G（x）=2
      √e
      x-e-g（x）=2
      √e
      x-e-2elnx，
      G′（X）=2
      √c
      -
      2c
      x
      =（2
      √c
      x-2c）/x=2
      √c
      （x-
      √e
      ）/x，
      当x=
      √e
      时，G′（X）=0，当0＜x＜
      √e
      时G′（X）＞0，
      则当x=
      √e
      时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
      所以G（x）=2
      √e
      x-e-g（x）≥0，则g（x）≤2
      √e
      x-e当x＞0时恒成立．
      ∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2
      √e
      x-e
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