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  • 集合Mk（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x1，x2∈（k，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．（1）函数f（x）=x2是否为集合M0的元素，说明理由；（2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=ax是集合M1的元素；（3）对数函数f（x）=lgx∈Mk，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      集合Mk（k≥0）是满足下列条件的函数f（x）全体：如果对于任意的x1，x2∈（k，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．
      （1）函数f（x）=x      2是否为集合M0的元素，说明理由；
      （2）求证：当0＜a＜1时，函数f（x）=a      x是集合M1的元素；
      （3）对数函数f（x）=lgx∈M      k，求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）取x1=2，x2=3∈（0，+∞），…1分
      f（x      1）=22=4，f（x2）=32=9，f（x1+x2）=52=25＞f（x1）+f（x2），…1分
      ∴函数f（x）=x      2不是集合M0的元素．…1分
      （2）证明：任取x      1，x2∈（1，+∞），
      f（x      1）+f（x2）-f（x1+x2）=ax1+ax2-ax1+x2…1分
      =1-(1-a      x1)(1-ax2)，…1分
      ∵0＜a＜1，x      1＞1，根据指数函数的性质，得0＜ax1＜1，∴0＜1-ax1＜1，
      同理，0＜1-a      x2???1，∴0＜(1-ax1)(1-ax2)＜1，∴1-(1-ax1)(1-ax2)＞0．
      ∴f（x      1）+f（x2）＞f（x1+x2），∴函数f（x）=ax是集合M1的元素．…2分
      （3）∵对数函数f（x）=lgx∈M      k，∴任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，
      即lgx      1+lgx2=lg（x1?x2）＞lg（x1+x2）成立，
      ∴x      1?x2＞x1+x2对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，…1分
      ∴1＞
      1
      x1
      +
      1
      x2
      对一切x1，x2∈（k，+∞）成立，
      ∵x      1，x2∈（k，+∞），∴
      1
      x1
      +
      1
      x2
      ∈（0，
      2
      k
      ），
      ∴
      2
      k
      ≤1，∴k≥2．…2分．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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