已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=x-ln（x+1）（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；（Ⅱ）是否存在实数k，对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=-x²+8x，g（x）=x-ln（x+1）
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数k，对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）f（x）=-x²+8x=-（x-4）²+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，h（t）=f（t+1）=-（t+1）²+8（t+1）=-t²+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，h（t）=f（t）=-t²+8t．
综上，h（t）=

{	-t²+6t+7，t＜3 16，3≤t≤4 -t²+8t，t＞4

．
（Ⅱ）∵g（x）≤8kx-kf（x），
∴不等式等价为8kx-kf（x）-g（x）≤0，
设h（x）=8kx-kf（x）-g（x）=kx²-x+ln（x+1），x≥0
则h（x）≥0在x∈[0，+∞），上恒成立，?h（x）_min≥0，
h^/(x)=2kx+

x+1

-1=

2kx²+2kx-x

x+1

，
①k≤0时，h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）上减函数，h（x）≤h（0）=0；
∴不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立；不合题意．
②当0＜k＜

时，h^/(x)=2kx+

x+1

-1=

2kx²+2kx-x

x+1

2kx(x-

1-2k

)

x+1

，
当x∈(0，

1-2k

)时，h′（x）＜0，存在x₀∈(0，

1-2k

)，使h（x₀）＜h（0）=0，
∴g（x₀）＞8kx₀-kf（x₀），
???x∈[0，+∞）不等式g（x）≤8kx-kf（x）不恒成立，
③当k≥

时，h′（x）＞0，h（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，
∴h（x）≥h（0）=0；符合题意；
综上：存在k∈[

，+∞)对任意的x∈[0，+∞），不等式g（x）≤8kx-kf（x）恒成立．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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