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  • 已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2-16ac＜-1；（2）若b=4，c=34时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．
      （1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b      2-16ac＜-1；
      （2）若b=4，c=
      3
      4
      时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；
      （3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，
      ∴ax      2+2bx+4c=±x无解
      ∴△＜0
      ∴4b      2-16ac＜-1；
      （2）

      把b=4，c=
      3
      4
      代入得：f（x）=ax2+8x+3=a (x+
      4
      a
      )2+3-
      16
      a
      ，
      ∵a＜0，所以f（x）      max=3-
      16
      a

      ①当3-
      16
      a
      ＞5，即-8＜a＜0时，M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-
      4
      a
      ，
      所以M（a）是方程ax      2+8x+3=5的较小根，
      则M（a）=
      -8+
      √64+8a
      2a
      =
      2
      √16+2a
      +4
      ＜
      2
      4
      =
      1
      2
      ；
      ②当3-
      16
      a
      ≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-
      4
      a
      ，所以M（a）是ax2+8x+3=-5的较大根，
      则M（a）=
      -8-
      √64-32a
      2a
      =
      4
      √4-2a
      -2
      ≤
      4
      √20
      -2
      =
      √5
      +1
      2
      ，
      当且仅当a=-8时取等号，
      由于
      √5
      +1
      2
      ＞
      1
      2
      ，因此当且仅当a=-8时，M（a）取最大值
      √5
      +1
      2
      ；
      （3）求得f′（x）=2ax+2b，
      ∵a＞0，∴f（x）      max=2a+2b=2，即a+b=1，
      则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
      ∴4c=-2，解得c=-
      1
      2
      ，
      又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
      ∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
      ∴-
      2b
      2a
      =0，解得b=0，从而a=1，
      ∴f（x）=x      2-2．
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