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年级：: 全部; 高一; 高二; 高三

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定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=2x4x+1．（1）判断并证明f（x）在（0，2）上的单调性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；（2）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解？试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
（1）判断并证明f（x）在（0，2）上的单调性，并求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）当λ为何值时，关于x的方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解？

试题解答

见解析

（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分（10分），第2小题满分（6分）．
解：（1）f（x）在（0，2）上为减函数． …（2分）
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜2
则2^x₁-2^x₂＜0，1-2^x₁+x₂＜0，（4^x₁+1）（4^x₂+1）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₁-2^x₂)(1-2^x₁+x₂)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，2）上为减函数． …（4分）
当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2^x

4^x+1

．，…（6分）
当x=0时，由f（-0）=-f（0）?f（0）=0 …（7分）
∵f（x）有最小正周期4，∴f（-2）=f（-2+4）=f（2）?f（-2）=f（2）=0…（9分）
综上，f（x）=

{

2^x

4^x+1

0＜x＜2

0 x=0，±2

2^x

4^x+1

-2＜x＜0

（2）f（x）周期为4的周期函数，关于方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解的λ的范围即为求函数f（x）在[-2，2]上的值域． …（11分）
当x∈（0，2）时由（1）知，f（x）在（0，2）上为减函数，
∴

=f（2）＜f（x）＜f（0）＜

，
当x∈（-2，0）时，f（x）∈（-

，-

） …（13分）
当x∈{-2，0，2}时，f（x）=0 …（14分）
∴f（x）的值域为（-

，-

）∪{0}∪（

，

） …（15分）
∴λ∈（-

，-

）∪{0}∪（

，

）时方程方程f（x）=λ在[2，6]上有实数解．…（16分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题