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  • 已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）={f(n)-1f(n)，f(n)＞12f(n)，f(n)≤1，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有 个．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=
      {
      f(n)-1
      f(n)
      ，f(n)＞1
      2f(n)，f(n)≤1
      ，若对任意的n∈N*，总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有          个．

      试题解答

      2
      解：∵0＜a≤1，
      ∴f（2）=2f（1）=2a，
      ①当0＜a≤
      1
      4
      时，0＜2a≤
      1
      2
      ，0＜4a≤1，
      ∴f（3）=2f（2）=4a，
      f（4）=2f（3）=8a，
      此时f（4）=f（1）不成立．
      ②当
      1
      4
      ＜a≤
      1
      2
      时，
      1
      2
      ＜2a≤1，1＜4a≤2，
      ∴f（3）=2f（2）=4a，
      f（4）=
      f(3)-1
      f(3)
      =
      4a-1
      4a
      ，
      此时f（4）=f（1），
      4a-1
      4a
      =a，解得a=
      1
      2
      ；
      ③当
      1
      2
      ＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
      ∴f（3）=
      f(2)-1
      f(2)
      =
      2a-1
      2a
      ≤
      1
      2
      ，
      ∴f（4）=2f（3）=
      2a-1
      a
      ，
      此时f（4）=f（1），得
      2a-1
      a
      =a，解得a=1．
      综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
      则a在（0，1]内的可能值有两个：a=
      1
      2
      或a=1．
      故答案为：2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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