已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：①任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2k，2k-1）．其中所有正确结论的序号是试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x给出结论如下：
①任意m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）?（2^k，2^k-1）．
其中所有正确结论的序号是

试题解答

①②④

解：①f（2^m）=f（2?2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2），正确；
②取x∈（2^m，2^m+1），则

2^m

∈（1，2]；f（

2^m

）=2-

2^m

，从而
f（x）=2f（

）=…=2^mf（

2^m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
从而f（x）∈[0，+∞），正确；
③f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，2^x₁-2^x₂=10，又，2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；
④根据前面的分析容易知道该选项正确；
综合有正确的序号是①②④．

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