定义域是R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”．有下列关于“A的相关函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数“；②f（x）=x2是一个“λ的相关函数“；③“2的相关函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是（）试题及答案-单选题-云返教育

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定义域是R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”．有下列关于“A的相关函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数“；
②f（x）=x²是一个“λ的相关函数“；
③“2的相关函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是（　　）

试题解答

解：①设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，
由f（x+λ）+λf（x）=0得，（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，
因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f（x）=x²是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0对任意实数x成立，
所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式无解，
所以f（x）=x²不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
③由“2的相关函数”即λ=2，得f（x+2）+2f（x）=0，
令x=0代入上式得，f（2）+2f（0）=0，所以f（2）=-2f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（2）?f（0）=-2f²（0）＜0，
又∵f（x）的函数图象是连续不断，
∴由零点存在定理得，函数f（x）在（0，2）上必有实数根．
因此任意的因此任意的“2的相关函数”至少有一个零点，故③正确，
故选：A．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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