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  • f（x）是定义在（-1，1）上的函数，对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(x-y1-xy)成立，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，给出下列命题：①f（0）=0；②函数f（x）是偶函数；③函数f（x）只有一个零点；④f（12）+f（13）＜f（14），其中正确命题的个数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      f（x）是定义在（-1，1）上的函数，对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(
      x-y
      1-xy
      )成立，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，给出下列命题：
      ①f（0）=0；
      ②函数f（x）是偶函数；
      ③函数f（x）只有一个零点；
      ④f（
      1
      2
      ）+f（
      1
      3
      ）＜f（
      1
      4
      ），
      其中正确命题的个数是（　　）

      试题解答

      C
      解：对于①，∵对于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(
      x-y
      1-xy
      )成立，
      ∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正确；
      对于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（
      2x
      1+x2
      ）（1），
      再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（
      -2x
      1+x2
      ）（2），
      （1）+（2）得：f（
      2x
      1+x2
      ）+f（
      -2x
      1+x2
      ）=0，
      ∴f（
      -2x
      1+x2
      ）=-f（
      2x
      1+x2
      ），
      ∴定义在（-1，1）上的函数f（x）为奇函数，故②错误；
      对于③，∵函数f（x）为定义在（-1，1）上的奇函数，且当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
      ∴当x∈（0，1）时，f（x）＜0，又f（0）=0，
      ∴函数f（x）在（-1，1）上只有一个零点，故③正确；
      对于④，∵当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，
      ∴f（
      1
      3
      ）-f（
      1
      2
      ）=f（
      1
      3
      -
      1
      2
      1-
      1
      3
      ×
      1
      2
      ）=f（-
      1
      5
      ）＞0，
      ∴f（
      1
      3
      ）＞f（
      1
      2
      ）；
      同理可得，f（
      1
      4
      ）＞f（
      1
      3
      ），
      ∴f（
      1
      2
      ）+f（
      1
      3
      ）＜f（
      1
      4
      ），即④正确；
      综上所述，正确命题的个数是3个，
      故选：C．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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