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  • 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）?f（y），且当x＞1时，f（x）＜1，f（3）=19（1）求证f（x）＞0；（2）求证f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）若f（m）=9，求m的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）?f（y），且当x＞1时，f（x）＜1，f（3）=
      1
      9

      （1）求证f（x）＞0；
      （2）求证f（x）在（0，+∞）上单调递减；
      （3）若f（m）=9，求m的值．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵对任意的x，y＞0，均有f（xy）=f（x）?f（y），
      ∴f（x）=f（
      √x
      ）?f（
      √x
      ）=f2（
      √x
      ），
      若f（
      √x
      ）=0，则f（x）=0，这与f（3）＞0矛盾，
      ∴f（x）＞0成立；
      （2）证明：令0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1，
      ∵x＞1时，f（x）＜1，
      ∴f(
      x2
      x1
      )＜1，
      ∵f（xy）=f（x）?f（y），
      ∴f（x）=
      f(xy)
      f(y)
      ，
      ∴f(
      x2
      x1
      )=
      f(x2)
      f(x1)
      ＜1，
      由（1）得：f（x      2）＜f（x1），
      ∴由函数的单调性的定义得：
      f（x）在（0，+∞）上单调递减；
      （3）解：令x=y=1，则f（1）=f      2（1），
      即f（1）=1或f（1）=0（舍去），
      又f（3）=
      1
      9
      ，
      ∴f(
      1
      3
      )=
      f(1)
      f(3)
      =
      1
      1
      9
      =9，
      ∵f（m）=9，
      ∴f（m）=f（
      1
      3
      ），
      ∵f（x）在（0，+∞）上单调递减，
      ∴m=
      1
      3
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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