已知函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1；（2）求证：当x∈R 时，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）在 R 上是减函数；（4）若f（2）=19，求不等式f（x）?f（3x2-1）＜127的解．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+y）=f（x）?f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R 时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在 R 上是减函数；
（4）若f（2）=

，求不等式f（x）?f（3x²-1）＜

的解．

试题解答

见解析

（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f²（0），
即f（0）=0或f（0）=1，
令y=0，则f（x）=f（x）?f（0），
若f（0）=0，则f（x）=0，这与条件矛盾，
∴f（0）=1；
（2）证明：∵x=0时，f（0）=1，
x＞0时，0＜f（x）＜1，
令x+y=0，则f（0）=f（x）?f（-x），
∵f（0）=1，∴f（x）?f（-x）=1＞0，
若x＞0，则-x＜0，
∵f（x）＞0，∴f（-x）＞0，
∴当x∈R 时，恒有f（x）＞0；
（3）证明：令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1，
∵f（x+y）=f（x）?f（y），
∴f（x）=

f(x+y)

f(y)

，
∴f（x₂-x₁）=

f(x₂)

f(x₁)

＜1，
由（2）得f（x₂）＜f（x₁），
∴由函数单调性的定义得：
函数f（x）在 R 上是减函数；
（4）解：∵f(2)=

，f（x+y）=f（x）?f（y），
∴f（2）=f²（1），
∵f（x）＞0，∴f（1）=

，
又f（3）=f（1）?f（2），
∴f(3)=

，
∴f（x）?f（3x²-1）＜

即f（x）?f（3x²-1）＜f（3），
∵f（x+y）=f（x）?f（y），∴f（x+3x²-1）＜f（3），
∵函数f（x）在 R 上是减函数，
∴x+3x²-1＞3即3x²+x-4＞0，
∴x＞1或x＜-

，
∴原不等式的解集为：(1，+∞)∪(-∞，-

)．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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