已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=-1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、f(√3)的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x-1）-2．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R⁺上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=-1；②对任意x、y∈R⁺都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（9）、f(

√3

)的值；
（2）证明：函数f（x）在R⁺上为减函数；
（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x-1）-2．

见解析

（1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2
令x=y=

√3

得f(

√3

)+f(

√3

)=f(3)=-1∴f(

√3

)=-

（2）证明：设0＜x₁＜x₂，x₁，x₂∈R⁺
f(x₂)=f(

x₂

x₁

x₁)=f(

x₂

x₁

)+f(x₁)＜f(x₁)
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R⁺上为减函数．
（3）不等式等价于

{	6x＞9(x-1) 6x＞0 x-1＞0

，
解得1＜x＜3．

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