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  • 已知函数f（x）定义在R上，对?x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）?f（y），且f（0）≠0．（1）求证：f（0）=1；（2）求证：y=f（x）是偶函数；（3）若存在常数c，使f(c2)=0．①求证：对?x∈R，有f（x+c）=-f（x）；②求证：y=f（x）是周期函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）定义在R上，对?x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）?f（y），且f（0）≠0．
      （1）求证：f（0）=1；
      （2）求证：y=f（x）是偶函数；
      （3）若存在常数c，使f(
      c
      2
      )=0．①求证：对?x∈R，有f（x+c）=-f（x）；②求证：y=f（x）是周期函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）?f（y）
      令x=y=0得f（0）+f（0）=2f      2（0），
      又∵f（0）≠0
      ∴f（0）=1
      （2）证明：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）?f（y）中，
      令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）?f（y）=2f（y），
      ∴f（y）=f（-y）
      ∴f（x）是偶函数
      （3）①在已知等式中把x换成x+
      c
      2
      ，把y换成
      c
      2
      ，且由f(
      c
      2
      )=0得f(x+
      c
      2
      +
      c
      2
      )+f(x+
      c
      2
      -
      c
      2
      )=2f(x+
      c
      2
      )?f(
      c
      2
      )=0，
      ∴f（x+c）=-f（x）
      ②由=1 ①知对?x∈R，有f（x+c）=-f（x），
      ∴f（x+2c）=-f（x+c），代入得f（x+2c）=f（x），
      ∴f（x）是以T=2c为一个周期的周期函数．
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