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已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,(1)求证:f(1)=0;(2)求f(116);(3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,
(1)求证:f(1)=0;
(2)求f(
1
16
);
(3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1.
试题解答
见解析
解:(1)证明:令x=4,y=1,则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1).
∴f(1)=0.
(2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(1)=f(
1
16
×16)=f(
1
16
)+f(16)=0,
故f(
1
16
)=-2.
(3)设x
1
,x
2
>0且x
1
>x
2
,于是f(
x
1
x
2
)>0,
∴f(x
1
)=f(
x
1
x
2
×x
2
)=f(
x
1
x
2
)+f(x
2
)>f(x
2
).
∴f(x)为x∈(0,+∞)上的增函数.
又∵f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4),
∴
{
x>0
x-3>0
x(x-3)≤4
?3<x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
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正整数指数函数
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