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  • 已知函数y=f（x）的定义域是R，且f（12）=2，对任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞-12时，f（x）＞0．（1）求f（0），f（-12）的值；（2）证明：f（x）在定义域R上是增函数；（3）求f（x）在[-1，1]上的最值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）的定义域是R，且f（
      1
      2
      ）=2，对任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞-
      1
      2
      时，f（x）＞0．
      （1）求f（0），f（-
      1
      2
      ）的值；
      （2）证明：f（x）在定义域R上是增函数；
      （3）求f（x）在[-1，1]上的最值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
      ∴令m=n=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
      ∵f（
      1
      2
      ）=2，
      ∴f（
      1
      2
      -
      1
      2
      ）=f（0）=f（
      1
      2
      ）+f(-
      1
      2
      )-1，
      即1=2+f（-
      1
      2
      ）-1，解得f（-
      1
      2
      ）=0．
      （2）任意设x      1＜x2，则f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1=f（x2-x1），
      即f（x      2）-f（x1）=f（x2-x1）-1=f（x2-x1-
      1
      2
      +
      1
      2
      ）=f（x2-x1-
      1
      2
      ）+f(
      1
      2
      )-1-1=f（x2-x1-
      1
      2
      ）+f(
      1
      2
      )-2=f（x2-x1-
      1
      2
      ），
      ∵x      1＜x2，∴x2-x1＞0，x2-x1-
      1
      2
      ＞-
      1
      2
      ，此时f（x2-x1-
      1
      2
      ）＞0，
      ∴f（x      2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
      ∴f（x）在定义域R上是增函数．
      （3）由（2）知f（x）在定义域R上是增函数．
      ∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
      ∴f（x）的最大值为f（1），最小值为f（-1）．
      由f（m+n）=f（m）+f（n）-1，f（
      1
      2
      ）=2，
      得f（1）=f（
      1
      2
      +
      1
      2
      ）=f（
      1
      2
      ）+f（
      1
      2
      ）-1=2+2-1=3，
      f（1-1）=f（0）=f（1）+f（-1）-1，
      ∴f（-1）=f（0）+1-f（1）=1+1-3=-1．
      ∴f（x）的最大值f（1）=3，最小值为f（-1）=-1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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