定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且对x∈（-1，0）时，f（x）＞0．（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（-1，0）上是减函数；（3）证明f(1n2+3n+1)=f(1n+1)-f(1n+2)(n∈N*)；（4）比较f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)与f(12)的大小．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且对x∈（-1，0）时，f（x）＞0．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明函数f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）证明f(

n²+3n+1

)=f(

n+1

)-f(

n+2

)(n∈N^*)；
（4）比较f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)与f(

)的大小．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时，

x-y

1-xy

＜0，由条件知 f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上是减函数，
又函数f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在（-1，0）上是减函数．
（3）∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
∴f(

n+1

)-f(

n+2

)=f（

n+1

n+2

n+1

n+2

）=f(

n²+3n+1

)
∴原等式成立
（4）根据f(

n²+3n+1

)=f(

n+1

)-f(

n+2

)(n∈N^*)可知
f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)=f（

）-f（

）+f（

）-f（

）+…+f(

n+1

)-f(

n+2

)=f（

）-f（

n+2

）
∵x∈（-1，0）时，f（x）＞0，函数f（x）是奇函数
∴f（

n+2

）＜0
∴f(

)+f(

)+…+f(

n²+3n+1

)=f（

）-f（

）+f（

）-f（

）+…+f(

n+1

)-f(

n+2

)=f（

）-f（

n+2

）＞f（

）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题