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  • 已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）求f（x）在[-4，4]上的最值；（3）解关于x的不等式12f（bx2）-f（x）＞12f（b2x）-f（b）（b2≠2）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1、x2∈R都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
      （2）求f（x）在[-4，4]上的最值；
      （3）解关于x的不等式
      1
      2
      f（bx2）-f（x）＞
      1
      2
      f（b2x）-f（b）（b2≠2）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=0得f（0）=0．
      再令x      1=x，x2=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
      ∴f（-x）=-f（x）．
      ∴f（x）为R上的奇函数．
      设x      1＜x2，则x2-x1＞0，当x＞0时f（x）＜0．
      ∴f（x      2-x1）＜0
      由f（x      2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
      ∴f（x      2）＜f（x1）
      ∴f（x）为R上的减函数．
      （2）∵f（x）为R上的减函数
      ∴f（x）为[-4，4]上是减函数
      ∴f（x）的最大值为f（-4），最小值为f（4）
      最小值f（4）=f（1+3）=f（1）+f（3）=4f（1）=-8
      最大值f（-4）=-f（4）=8
      （3）∵
      1
      2
      f（bx2）-f（x）＞
      1
      2
      f（b2x）-f（b）
      ∴
      1
      2
      f(bx2-b2x)＞f(x-b)
      ∵f（
      x
      2
      +
      x
      2
      ）=2f（
      x
      2
      ）∴f(
      x
      2
      )=
      1
      2
      f(x)
      ∴f(
      bx2-b2x
      2
      )＞f(x-b)
      ∴bx      2-b2x＜2x-2b
      ∴bx      2-（2+b2）x+2b＜0，
      若b=0，则{x|x＞0}；若b≠0，则b（x-
      2
      b
      ）（x-b）＜0
      当-
      √2
      ＜b＜0时，则{x|x＜
      2
      b
      或x＞b}
      当b＜-
      √2
      时，则{x|x＜b或x＞
      2
      b
      }
      当0＜b＜
      √2
      时，则{x|b＜x＜
      2
      b
      }
      当b＞
      √2
      时，则{x|
      2
      b
      ＜x＜b}
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