不恒为0的函数f（x）的定义域为R．对于定义域内任意x1，x2，都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2）（1）求f（1）及f（-1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）若f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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不恒为0的函数f（x）的定义域为R．对于定义域内任意x₁，x₂，都有f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
（1）求f（1）及f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x₁?x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（1）=f（1?1）=f（1）+f（1）=0；故f（1）=0，
同理f（-1?1）=f（-1）+f（1）=0，得f（-1）=0．
（2）对任意x≠0，f（x²）=f（x?x）=f（-x?-x）
?f（x）+f（x）=f（-x）+f（-x）
?2f（x）=2f（-x）
故f（x）=f（-x），函数f（x）为偶函数．
（注：此处证法不唯一）
（3）因f（4）=1；故2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）
又f（3x+1）+f（2x-6）=f（（3x+1）（2x-6））≤2=f（16）；
因f（x）在（0，+∞）上为增函数，故|（3x+1）（2x-6）|≤16
解得

≤x≤

或-1≤x≤1．
x的取值范围：{x|

≤x≤

或-1≤x≤1}．（不写集合不扣分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题