见解析
(1)解:令x=y=0,得f(x)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),
因此f(x)是R上的奇函数.
(2)证明:设x1<x2,则x2-x1>0,
所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0,
所以f(x2)>f(x1).
故f(x)在R上是增函数.
(3)解:因为f(1)=2,f(x+y)=f(x)+f(y),
所以所有的正数都可以用f(1)=2表示出来,且f(x)在[-3,3]上为增函数,
所以最大值为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=6,
最小值为f(-3)=-f(3)=-6,
故所求最大值是6???最小值是-6.