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  • 定义在区间[0，1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0，且对任意的x1，x2∈[0，1]都有f（x1+x22）≤f（x1）+f（x2）；（1）证明：对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0；（2）求f（34）的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在区间[0，1]上的函数f（x）满足：f（0）=f（1）=0，且对任意的x1，x2∈[0，1]都有f（
      x1+x2
      2
      ）≤f（x1）+f（x2）；
      （1）证明：对任意的x∈[0，1]，都有f（x）≥0；
      （2）求f（
      3
      4
      ）的值．

      试题解答

      见解析
      （1）任取x1=x2=x∈[0，1]，则f（
      2x
      2
      ）≤f（x）+f（x），即f（x）≤2f（x），
      ∴f（x）≥0，
      故对任意的x∈[0，1]都有f（x）≥0（6分）
      （2）由f（0）=f（1）=0得f（
      0+1
      2
      ）≤f（0）+f（1）=0+0=0，
      于是f（
      1
      2
      ）≤0，
      又由（1）的结果知f（
      1
      2
      ）≥0，
      故f（
      1
      2
      ）=0；
      由f（
      1
      2
      ）=0与f（1）=0
      得f（
      1
      2
      +1
      2
      ）≤f（
      1
      2
      ）+f（1）=0+0=0，
      ∴f（
      3
      4
      ）≤0，又由（1）知f（
      3
      4
      ）≥0，
      故f（
      3
      4
      ）=0．（12分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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