已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f(xy)=f(x)-f(y)，且当x＞1时f（x）＜0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x2-9）＞f（x）-3．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意x，y∈（0，+∞），都有f(

)=f(x)-f(y)，且当x＞1时f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x²-9）＞f（x）-3．

见解析

解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0；
（Ⅱ）设0＜x₁＜x₂，则

x₂

x₁

＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，
∴f（

x₂

x₁

）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）为（0，+∞）上的减函数；
（Ⅲ）∵f（2）=-1，
∴f（4）=f（

）+f（2）=2f（2）=-2，
f（8）=f（

）+f（2）=-2+f（2）=-3，
∴f（x²-9）＞f（x）-3?f（x²-9）＞f（x）+f（8）=f（

），
∴f（

x²-9

）＞f（x），
∵f（x）为（0，+∞）上的减函数，
∴0＜

x²-9

＜x，
解得3＜x＜9．
∴不等式f（x²-9）＞f（x）-3的解集为：{x|3＜x＜9}．

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