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设函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)?f(y).(1)证明:f(0)=1;(2)证明:f(x)在R上是增函数;(3)设集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)<f(1)},B={(x,y)|f(x+y+c)=1,c∈R},若A∩B=φ,求c的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)定义域为R,当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)?f(y).
(1)证明:f(0)=1;
(2)证明:f(x)在R上是增函数;
(3)设集合A={(x,y)|f(x
2
)?f(y
2
)<f(1)},B={(x,y)|f(x+y+c)=1,c∈R},若A∩B=φ,求c的取值范围.
试题解答
见解析
(1)证明:设x=0,y=1得:f(0+1)=f(0)?f(1),即f(1)=f(0)?f(1)
∵f(1)>1
∴f(0)=1
(2)证明:∵对x
1
,x
2
∈R,x
1
<x
2
,,有x
2
-x
1
>0
∴f(x
2
)=f(x
1
+x
2
-x
1
)=f(x
1
)?f(x
2
-x
1
)中有f(x
2
-x
1
)>1
由已知可,得当x
1
>0时,f(x
1
)>1>0
当x
1
=0时,f(x
1
)=1>0
当x
1
<0时,f(x
1
)?f(-x
1
)=f(x
1
-x
1
)=f(0)=1
又∵f(-x
1
)>1∴0<f(x
1
)<1
故对于一切x
1
∈R,有f(x
1
)>0
∴f(x
2
)=f(x
1
)?f(x
2
-x
1
)>f(x
1
),故命题得证.
(3)解 由f(x
2
+y
2
)<f(1),则由单调性知x
2
+y
2
<1.
由f(x+y+c)=f(0)=1和函数单调性知x+y+c=0,
若A∩B=φ,则只要圆x
2
+y
2
=1与直线x+y+c=0相离或相切即可,故
|c|
√
2
≥1.
∴c≥
√
2
或c≤-
√
2
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