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已知函数f(x)(x∈R)满足:对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+12恒成立,且当x>0时,f(x)>-12恒成立;(1)求f(0)的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数;(2)判定函数f(x)在R上的单调性,并加以证明;(3)若函数F(x)=f(max{-x,2x-x2})+f(-k)+1(其中max{a,b}={a,(a≥b)b,(a<b))有三个零点x1,x2,x3,求u=(x1+x2+x3)+x1?x2?x3的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)(x∈R)满足:对于任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+
1
2
恒成立,且当x>0时,f(x)>-
1
2
恒成立;
(1)求f(0)的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数;
(2)判定函数f(x)在R上的单调性,并加以证明;
(3)若函数F(x)=f(max{-x,2x-x
2
})+f(-k)+1(其中max{a,b}=
{
a,(a≥b)
b,(a<b)
)有三个零点x
1
,x
2
,x
3
,求u=(x
1
+x
2
+x
3
)+x
1
?x
2
?x
3
的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0)+
1
2
?f(0)=-
1
2
;
例:f(x)=x-
1
2
,验证:f(x+y)=x+y+
1
2
=(x-
1
2
)+(x-
1
2
)+
1
2
=f(x)+f(y)+
1
2
.
(2)判定f(x)在R上单调递增.
证明:任取x
1
,x
2
∈R且x
1
<x
2
,
f(x
2
)-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
+x
1
)-f(x
1
)=f(x
2
-x
1
)+f(x
1
)-f(x
1
)+
1
2
=f(x
2
-x
1
)+
1
2
,
∵x
2
-x
1
>0,∴f(x
2
-x
1
)>-
1
2
,
∴f(x
2
)-f(x
1
)>0,f(x
2
)>f(x
1
),函数是增函数.
(3)由F(x)=0?f(max{-x,2x-x
2
})+f(-k)+
1
2
=-
1
2
.
∴f(max{-x,2x-x
2
}+(-k))=f(0),
又由(2)知f(x)是R上的增函数
∴max{-x,2x-x
2
}+(-k)=0?k=max{-x,2x-x
2
},
设g(x)=max{-x,2x-x
2
},
则g(x)=
{
-x,x∈(-∞,0)∪(3,+∞)
2x-x
2
, x∈[0,3]
F(x)有三个零点?k=max{-x,2x-x
2
}有三个解.如图,
当0<K<1时y=k与y=max{-x,2x-x
2
}的图象有三个不同的交点,横坐标依是x
1
,x
2
,x
3
.
则x
1
=-k,x
2
,x
3
是方程2x-x
2
=k的两根,则x
2
+x
3
=2,x
2
?x
3
=k.
∴u=2-k-k
2
,(0<k<1),
u=-
(k+
1
2
)
2
+
9
4
,在(0,1)上单调递减,
∴u∈(0,2)
故u的取值范围是(0,2)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
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集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
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