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  • 已知函数y=1+bxax+1(a＞0，x≠-1a)的图象关于直线y=x对称．（1）求实数b的值；（2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量e1=AB，e2=(1，0)，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量c，都存在唯一的实数λ1、λ2，使得c=λ1e1+λ2e2成立．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=
      1+bx
      ax+1
      (a＞0，x≠-
      1
      a
      )的图象关于直线y=x对称．
      （1）求实数b的值；
      （2）设A、B是函数图象上两个不同的定点，记向量
      e1
      =
      AB
      ，
      e2
      =(1，0)，试证明对于函数图象所在的平面里任一向量
      c
      ，都存在唯一的实数λ1、λ2，使得
      c
      =λ1
      e1
      +λ2
      e2
      成立．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数y=
      1+bx
      ax+1
      (a＞0，x≠-
      1
      a
      )的图象关于直线y=x对称，
      ∴当点(x      0，y0)(x0≠-
      1
      a
      )在函数的图象上时，点(y0，x0)(y0≠-
      1
      a
      )也在函数的图象上，即
      {
      y0=
      1+bx0
      ax0+1
      x0=
      1+by0
      ay0+1
      ，化简，得（a+ab）x02+（1-b2）x0-1-b=0．
      此关于x      0的方程对x0≠-
      1
      a
      的实数均成立，即方程的根多于2个，
      ∴
      {
      a+ab=0
      1-b2=0
      -1-b=0
      ，解之，得b=-1．
      （2）由（1）知，y=
      1-x
      ax+1
      (a＞0，x≠-
      1
      a
      )，又点A、B是该函数图象上不同两点，则它们的横坐标必不相同，于是，可设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），
      所以
      e1
      =
      AB
      ，
      e2
      =(1，0)都是非零向量．
      又      y1-y2=
      1-x1
      ax1+1
      -
      1-x2
      ax2+1
      =
      (1+a)(x2-x1)
      (1+ax1)(1+ax2)
      (x1≠x2，a＞0)
      ∴y      1≠y2，
      ∴
      e1
      =
      AB
      =(x2-x1，y2-y1)与
      e2
      =(1，0)不平行，
      即
      e1
      与
      e2
      为函数图象所在坐标平面上所有向量的一组基．
      根据平面向量的分解定理，可知，函数图象所在的平面上任一向量
      c
      ，都存在唯一实数λ1、λ2，使得
      c
      =λ1
      e1
      +λ2
      e2
      成立．
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