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  • 函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=logax．（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式．（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的表达式．（3）若函数f（x）的最大值为12，在区间[-1，3]上，解关于x的不等式f(x)＞14．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=logax．
      （1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式．
      （2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的表达式．
      （3）若函数f（x）的最大值为
      1
      2
      ，在区间[-1，3]上，解关于x的不等式f(x)＞
      1
      4
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x+1）=f（x-1），且f（x）是R上的偶函数
      ∴f（x+2）=f（x）
      ∴f（x）=
      {
      loga(2+x)，x∈[-1，0]
      loga(2-x)，x∈(0，1]

      （2）当x∈[2k-1，2k]时，f（x）=f（x-2k）=log      a（2+x-2k），
      同理，当x∈（2k，2k+1]时，f（x）=f（x-2k）=log      a（2-x+2k），
      ∴f（x）=
      {
      loga(2+x-2k)，x∈[2k-1，2k]
      loga(2-x+2k)，x∈(2k，2k+1]

      （3）由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[-1，1]
      当a＞1时，由函数f（x）的最大值为
      1
      2
      ，知f（0）=f（x）max=loga2=
      1
      2
      ，即a=4
      当0＜a＜1时，则当x=±1时，函数f（x）取最大值为
      1
      2
      即loga（2-1）=
      1
      2
      ，舍去
      综上所述a=4
      当x∈[-1，1]时，若x∈[-1，0]，则log      4（2+x）＞
      1
      4

      ∴
      √2
      -2＜x≤0
      若x∈（0，1]，则log      4（2-x）＞
      1
      4

      ∴0＜x＜2-
      √2

      ∴此时满足不等式的解集为（
      √2
      -2，2-
      √2
      ）
      ∵函数是以2为周期的周期函数，
      ∴在区间[-1，3]上，f(x)＞
      1
      4
      的解集为（
      √2
      ，4-
      √2
      ）
      综上所得不等式的解集为（
      √2
      -2，2-
      √2
      ）∪（
      √2
      ，4-
      √2
      ）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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