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  • 已知函数f(x)=log12(12sin2x)．（1）求它的定义域、值域；（2）判断它的奇偶性；（3）判断它的周期性；（4）写出函数的单调递增区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=log
      1
      2
      (
      1
      2
      sin2x)．
      （1）求它的定义域、值域；
      （2）判断它的奇偶性；
      （3）判断它的周期性；
      （4）写出函数的单调递增区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由
      1
      2
      sin2x＞0，∴sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，解得kπ＜x＜kπ+
      π
      2
      ，k∈Z
      故函数f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+
      π
      2
      ，k∈Z}…（3分）
      因0＜
      1
      2
      sin2x≤
      1
      2
      ，故log
      1
      2
      (
      1
      2
      sin2x)≥1
      故函数f（x）的值域为[1，+∞）．…（5分）
      （2）因为函数f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+
      π
      2
      ，k∈Z}，关于原点不对称，故此函数为非奇非偶函数．…（7分）
      （3）因???log
      1
      2
      (
      1
      2
      sin2(x+π))=log
      1
      2
      (
      1
      2
      sin2x)，所以此函数的周期为T=π．…（10分）
      （4）根据复合函数的单调性，故求函数t=sin2x的单调递减区间．
      又考虑到原函数的定义域，故2kπ+
      π
      2
      ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，
      即为kπ+
      π
      4
      ＜x＜kπ+
      π
      2
      ，k∈Z
      故函数的递增区间为（kπ+
      π
      4
      ，kπ+
      π
      2
      ），k∈Z．…（14分）
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