对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3-6x2+5x+4，请回答下列问题．（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x³-6x²+5x+4，请回答下列问题．（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）

试题解答

见解析

解：（1）依题意，得：f′（x）=3x²-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2，-2）
（2）设（x₁，y₁）与（x，y）关于（2，-2）中心对称，并且（x₁，y₁）在f（x），所以就有

{	x₁=4-x y₁=-4-y

，
由y₁=x₁³-6x₁²+5x₁+4，得-4-y=（4-x）³-6（4-x）²+5（x-4）+4
化简的：y=x³-6x²+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）关于点（2，-2）对称．
三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-

，f（-

）），它就是函数f（x）的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
（3），G（x）=a（x-1）³+b（x-1）²+3（a≠0），或写出一个具体函数，如G（x）=x³-3x²+3x+2，或G（x）=x³-3x²+5x

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必修1 人教A版单选题高中数学

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