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  • 已知函数f（x）=x+ax2+1是R上的奇函数（1）求a的值；（2）用定义证明该函数在[1，+∞）上的单调性，并求当x∈[2，5]的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x+a
      x2+1
      是R上的奇函数
      （1）求a的值；
      （2）用定义证明该函数在[1，+∞）上的单调性，并求当x∈[2，5]的最大值和最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）=
      x+a
      x2+1
      是R上的奇函数，
      ∴f（0）=0，
      即a=0，
      此时f（x）=
      x
      x2+1
      是奇函数．
      （2）设x      1，x2，是[1，+∞）上的任意两个数，且1≤x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=
      x1
      x
      2
      1
      +1
      -
      x2
      x
      2
      2
      +1
      =
      (x2-x1)(x1x2-1)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      ，
      ∵1≤x      1＜x2，
      ∴x      2-x1＞0，x1x2-1＞0，
      即f（x      1）-f（x2）=
      (x2-x1)(x1x2-1)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      ＞0，
      即f（x      1）-f（x2）＞0，
      f（x      1）＞f（x2），即函数是减函数．
      ∴当x∈[2，5]时，函数的最大值为f（2）=
      2
      22+1
      =
      2
      5
      ，
      函数的最小值为f（5）=
      5
      25+1
      =
      5
      26
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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