已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1(x∈R)（1）若f（x）满足f（-x）=-f（x），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在[-1，1]上是否有零点，并说明理由；（3）若函数f（x）在R上有零点，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

(x∈R)
（1）若f（x）满足f（-x）=-f（x），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，判断函数f（x）在[-1，1]上是否有零点，并说明理由；
（3）若函数f（x）在R上有零点，求a的取值范围．

见解析

解：（1）∵f(-x)=

a?2^-x+a-2

2^-x+1

a+(a-2)?2^x

1+2^x

-f(x)=

-a?2^x+(2-a)

2^x+1

，且f（-x）=-f（x），
∴

{	a=2-a a-2=-a

，解之得a=1；
（2）∵a=1，∴f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

∵t=

2^x+1

是R上的减函数，∴f（x）是R上的增函数．
∵f（-1）=-

＜0，f（1）=

＞0，f（0）=0
∴f（x）在[-1，1]上有唯一零点x=0．
（3）f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

=a-

2^x+1

∵函数f（x）在R上有零点，
∴方程a=

2^x+1

在R上有实数根
∵t=

2^x+1

上是减函数，2^x+1＞1
∴t=

2^x+1

∈（0，2）
由此可得，当a∈（0，2）时，方程a=

2^x+1

在R上有实数根
综上所述，若函数f（x）在R上有零点，a的取值范围是（0，2）．

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