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已知函数F(x)=kx2-2√4+2m-m2x,G(x)=-√1-(x-k)2(m,k∈R)(1)若m,k是常数,问当m,k满足什么条件时,函数F(x)有最大值,并求出F(x)取最大值时x的值;(2)是否存在实数对(m,k)同时满足条件:(甲)F(x)取最大值时x的值与G(x)取最小值的x值相同,(乙)k∈Z?(3)把满足条件(甲)的实数对(m,k)的集合记作A,设B={(m,k)|k2+(m-1)2≤r2,r>0},求使A?B的r的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数F(x)=kx
2
-2
√
4+2m-m
2
x,G(x)=-
√
1-(x-k)
2
(m,k∈R)
(1)若m,k是常数,问当m,k满足什么条件时,函数F(x)有最大值,并求出F(x)取最大值时x的值;
(2)是否存在实数对(m,k)同时满足条件:(甲)F(x)取最大值时x的值与G(x)取最小值的x值相同,(乙)k∈Z?
(3)把满足条件(甲)的实数对(m,k)的集合记作A,设B={(m,k)|k
2
+(m-1)
2
≤r
2
,r>0},求使A?B的r的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵函数F(x)=kx
2
-2
√
4+2m-m
2
x,
∴当
{
k<0
4+2m-m
2
≥0
时,
解得k<0且1-
√
5
≤m≤1+
√
5
;
即当x=
√
4+2m-m
2
k
时,F(x)有最大值.
(2)∵函数F(x)=kx
2
-2
√
4+2m-m
2
x,
当x=
√
4+2m-m
2
k
时,F(x)有最大值;
函数G(x)=-
√
1-(x-k)
2
,
x=k时,G(x)有最小值;
∴
√
4+2m-m
2
k
=k,得4+2m-m
2
=k
4
,
∴k
4
+(m-1)
2
=5,其中k为负整数,
当k=-1时,m=-1或者3,
∴存在实数对(3,-1),(-1,-1)满足条件.
(3)由条件A?B知,
当k
4
+(m-1)
2
=5成立时,k
2
+(m-1)
2
≤r
2
恒成立,
因此,
r
2
≥-k
4
+k
2
+5=-(k
2
-
1
2
)
2
+
21
4
恒成立,
当
k
2
=
1
2
时,右边取得最大值
21
4
,
因此
r
2
≥
21
4
,
∵r>0,
∴r≥
√
21
2
;
∴r的取值范围是{r|r≥
√
21
2
}.
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