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  • 设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：（1）f（-1+x）=f（-1-x）；（2）函数在y轴上的截距为1，且f（x+1）-f（x）=x+32．（1）求f（x）的解析式；（2）若x∈[t，t+1]，f（x）的最小值为h（t），请写出h（t）的表达式；（3）若不等式πf(x)＞(1π)1-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足条件：（1）f（-1+x）=f（-1-x）；（2）函数在y轴上的截距为1，且f（x+1）-f（x）=x+
      3
      2
      ．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）若x∈[t，t+1]，f（x）的最小值为h（t），请写出h（t）的表达式；
      （3）若不等式      πf(x)＞(
      1
      π
      )1-tx在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得对称轴-
      b
      2a
      =-1、且c=1、且a（x+1）2+b（x+1）+c-[ax2+bx+c]=x+
      3
      2
      ，
      解得 a=
      1
      2
      ，且 b=1，且c=1，故有f(x)=
      1
      2
      x2+x+1．…（4分）
      （2）由x∈[t，t+1]，f（x）的对称轴为x=-1，且f（x）的最小值为h（t），
      当t+1＜-1，即t＜-2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，h（t）=f（t+1）=
      1
      2
      t2+2t+
      5
      2
      ．
      当 t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，h（t）=f（-1）=
      1
      2
      ，
      当t＞-1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是增函数，h（t）=f（t）=
      1
      2
      t2+t+1．
      综上可得，h(t)=
      {
      1
      2
      t2+2t+
      5
      2
      ，t＜-2
      1
      2
      ，-2≤t≤-1
      1
      2
      t2+t+1 ，t＞-1
      ．--------（10分）
      （3）由不等式      πf(x)＞(
      1
      π
      )1-tx在t∈[-2，2]时恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]时恒成立，
      即
      1
      2
      x2+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]时恒成立，
      即xt-
      1
      2
      x2-x-2＜0 在t∈[-2，2]时恒成立．
      令关于t的一次函数m（t）=xt-
      1
      2
      x2-x-2，则由题意可得
      {
      m(-2)＜0
      m(2)＜0
      ，
      即
      {
      -2x-
      1
      2
      x2-x-2＜0
      2x-
      1
      2
      ?x2-x-2＜0
      ，解得x＜-3-
      √5
      ，或 x＞-3+
      √5
      ，
      故x的范围为（-∞，-3-
      √5
      ）∪（-3+
      √5
      ，+∞）．-----（14分）
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