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  • 已知定义在区间（-1、1）上的函数f(x)=mx+nx2+1为奇函数．且f(12)=25．（1）、求实数m、n的值．（2）、解关于 t 的不等式f（t-1）+f（t-2）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在区间（-1、1）上的函数f(x)=
      mx+n
      x2+1
      为奇函数．且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）、求实数m、n的值．
      （2）、解关于 t 的不等式f（t-1）+f（t-2）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是在区间（-1、1）上的奇函数．
      ∴f(x)=
      x
      1+x2
      ∴f(o)=n=o又f(
      1
      2
      )=
      m
      2
      +n
      1+
      1
      4
      =
      2
      5
      ∴m=1…（6分）
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1则f(x1)-f(x2)=
      x1
      1+x12
      -
      x2
      1+x22
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (1+x12)(1+x22)

      ∴-1＜x      1＜x2＜1∴x1-x2＜01-x1x2＞0（1+x12）（1+x22）＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在区间（-1、1）上是增函数．
      ∴f（t-1）+f（t-2）＜0．且f（x）为奇函数∴f（t-2）＜-f（t-1）=f（1-t）
      又∴函数f（x）是定义在区间（-1、1）上的增函数．∴
      {
      t-2＜1-t
      -1＜t-2＜1
      -1＜1-t＜1
      ∴1＜t＜
      3
      2

      故关于t的不等式的解集为{t|1＜t＜
      3
      2
      }…（13分）
      注：单调性的证明用求导或用熟悉函数（如打钩函数）性质证明也可．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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