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  • 设函数f(x)=1x+2+lg1-x1+x（1）求f（x）的定义域．（2）判断函数f（x）的单调性并证明．（3）解关于x的不等式f[x(x-12)]＜12．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=
      1
      x+2
      +lg
      1-x
      1+x

      （1）求f（x）的定义域．
      （2）判断函数f（x）的单调性并证明．
      （3）解关于x的不等式f[x(x-
      1
      2
      )]＜
      1
      2
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=
      1
      x+2
      +lg
      1-x
      1+x
      ，
      ∴
      {
      x+2≠0
      1-x
      1+x
      ＞0
      ，
      解得-1＜x＜1，
      ∴f（x）的定义域是（-1，1）；
      （2）函数f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，证明如下；
      ∵函数f(x)=
      1
      x+2
      +lg
      1-x
      1+x
      ，
      ∴f′（x）=-
      1
      (x+2)2
      +
      1
      ln10
      ?
      1+x
      1-x
      ?
      -(1+x)-(1-x)
      (1+x)2
      =-
      1
      (x+2)2
      -
      1
      ln10
      ?
      2
      1-x2

      ∵x∈（-1，1），
      ∴f′（x）＜0∴f（x）是减函数；
      （3）∵函数f(x)=
      1
      x+2
      +lg
      1-x
      1+x
      ，
      ∴f（0）=
      1
      2
      ；
      ∴不等式f[x(x-
      1
      2
      )]＜
      1
      2
      可化为f[x（x-
      1
      2
      ）]＜f（0）；
      又∵f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，
      ∴
      {
      -1＜x(x-
      1
      2
      )＜1
      x(x-
      1
      2
      )＞0
      ，
      解得
      1-
      √17
      4
      ＜x＜0，或
      1
      2
      ＜x＜
      1+
      √17
      4
      ；
      ∴不等式的解集为(
      1-
      √17
      4
      ，0)∪(
      1
      2
      ，
      1+
      √17
      4
      )．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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