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  • 已知奇函数f（x）=lga-x1+x，（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知奇函数f（x）=lg
      a-x
      1+x
      ，
      （1）求a的值；
      （2）判断函数f（x）在定义域上的单调性并证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f???x）是奇函数∴f（x）+f（-x）=0，即lg
      a-x
      1+x
      +lg
      a+x
      1-x
      =0 解得a=1
      故a的值为1
      （2）由（1）知f（x）=lg
      1-x
      1+x
      ，定义域为（-1，1），
      函数f（x）在定义域上单调递减，证明如下：
      任取，x      1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
      f（x      1）-f（x2）=lg
      1-x1
      1+x1
      -lg
      1-x2
      1+x2
      =lg
      1-x1+x2-x1x2
      1+x1-x2-x1x2

      ∵x      1，x2∈（-1，1）且x1＜x2
      ∴（1-x1+x2-x1x2）-（1+x1-x2-x1x2）=2（x2-x1）＞0，
      所以1-x      1+x2-x1x2＞1+x1-x2-x1x2，
      因为1+x      1-x2-x1x2=（1+x1）（1-x2）＞0，
      所以
      1-x1+x2-x1x2
      1+x1-x2-x1x2
      ＞1，从而lg
      1-x1+x2-x1x2
      1+x1-x2-x1x2
      ＞0，
      即f（x      1）＞f（x2），
      所以函数f（x）在定义域（-1，1）上单调递减．
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