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已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=2x4x+1．（1）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；（3）要使方程f（x）=x+b在区间[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且当x∈（0，1]时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
（1）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（2）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）要使方程f（x）=x+b在区间[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）对于任意x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＞x₂，有
f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁(4^x₂+1)-2^x₂(4^x₁+1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

(2^x₁+x₂-1)(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(4^x₂+1)

；
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁+x₂＞0，
∴2^x₁+x₂＞1，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0；
又函数y=2^x 在R内递增，
∴2^x₁＞2^x₂，
∴2^x₂-2^x₁＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1]上是减函数；
（2）由题意f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（0）=0；
又x∈（0，1]时，f（x）=

2^x

4^x+1

，
∴x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，
∴f（-x）=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2^x

4^x+1

；
综上，函数f（x）在[-1，1]上的解析式为
f（x）=

{

2^x

4^x+1

，x∈(0，1]

0， x=0

2^x

4^x+1

，x∈[-1，0)

；
（3）方程f（x）=x+b 可化为f（x）-x=b，
记g（x）=f（x）-x，
由（1）及题设知，g（x）在[-1，1]为奇函数，且在（0，1]上是减函数，
∴当x∈（0，1]时，
g_max（x）=g（0）=

，
g_min（x）=g（1）=-

，
∴g（x）∈[-

，

），
由奇函数的性质，得x∈[-1，0]时，g（x）∈（-

，

]，
综上，g（x）值域为[-

，

]，
∴当y=g（x）图象与直线y=b 有公共点时，b的范围为[-

，

]，
也即方程f（x）=x+b 在[-1，1]上恒有实数解时b的取值范围为[-

，

]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题