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  • 设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)(a2-1)x，（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；（Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设0＜a＜1，f(logax)=
      a(x2-1)
      (a2-1)x
      ，
      （Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
      （Ⅱ）解关于x的不等式：f（a      x）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）
      （Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
      （文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）令t=logax，则x=at，∴f(t)=
      a(a2t-1)
      (a2-1)at
      ，∴f（x）=
      a
      a2-1
      (ax-a-x），x∈R．（2分）
      ∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
      （Ⅱ）∵f（a      x）-f（2）＞f（2）-f（ax）
      ∴f（a      x）＞f（2），ax＞2，
      ∵0＜a＜1，∴x＜log      a2（4分）
      （Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
      当n≥2时，f（n）=
      1
      an
      ?
      a[1-(a2)n]
      1-a2
      =
      1
      an
      (a+a3+a5+…a2n-1，）
      =
      1
      2an
      [(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a2n-1+a）]＞
      1
      2an
      ?n?2an=n(∵0＜a＜1)（5分）
      或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a      -k＞ak+ak-k∵0＜a＜1，
      ∴可令
      1
      a
      =1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+
      1
      a
      -1)+1＞k+1
      （文科）∵f(x)＜4?x＜2?f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-
      √3
      （6分）
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